케플러의 법칙(가상실험)

 

케플러의 법칙

지구가 중심이고 모든 천체가 지구의 둘레를 따라 돈다는 천동설에서 태양을 중심으로 행성들이 돈다는 지동설로 우주관이 바뀔 때까지 많은 시간이 걸렸다. 르네상스 이후에 과학계에서도 많은 변화가 있었는데, 그 중 하나가 바로 지동설의 등장이었다.

1. 행성의 운동에 대한 옛날 사람들의 이해
옛날 사람들은 우주의 중심은 지구이며, 태양과 달을 포함한 다른 모든 천체들은 지구를 중심으로 회전한다는 천동설을 믿고 있었다. 이를 체계화한 사람은 프톨레마이오스이었다. 그는 플라톤이나 아리스토텔레스의 영향을 받아 기하학적으로 완전한 공 모양의 우주를 생각하였으며, 그 중심에는 지구가 있다고 믿었다. 그러나 행성이나 별들의 운동을 정확하게 기술하기가 어려워서 여러 번 고쳐 만든 이론으로 천동설을 유지하였다.

 

이러한 이론이 거의 1400년 간 유지되다가 코페르니쿠스가 태양이 중심이고, 지구를 포함한 주위의 행성들이 태양 주위를 돈다고 하는 지동설을 내놓아 과학에서 새로운 혁명의 싹이 트게 되었다.

 

한편, 티코 브라헤는 많은 데이터를 관측한 상태에서 절충 모형을 제기하였지만 별로 인정받지 못했다. 이 데이터를 이용한 케플러는 천체의 운동이 기하학적으로 완벽한 원이라는 그동안의 기본 개념을 깨뜨리고 행성들이 타원 운동을 한다는 놀라운 이론을 내세웠다. 그는 세 가지 법칙으로 행성들의 운동을 기술하였는데 순전히 데이터만 해석한 것으로 지금도 놀라울 만큼 정확한 법칙을 만든 것은 거의 기적에 가까웠다. 

 

2. 케플러 법칙
케플러는 티코 브라헤의 천체 관측 결과를 분석하여 세 법칙 중에서 두 법칙을 먼저 1609년에 발표하였다. 이후 1619년에 가서야 세 번째 법칙을 발표하였다. 그 후 거의 1세기 후에야 뉴턴이 그가 제안한 물체의 운동 법칙과 중력의 법칙으로 적절한 조건만 주어지면 케플러의 법칙과 정확히 동일한 관계식이 유도됨을 알게 되었다.

 

케플러 법칙은 태양과 하나의 행성 사이에만 관련된 법칙이므로 근사치에 가까우며, 실제로는 다른 행성의 영향으로 행성의 운동이 약간씩 틀어진다.
케플러의 행성 운동에 대한 법칙을 정리하면 다음과 같다.

 

제 1법칙: 모든 행성은 태양을 초점으로 하는 타원 궤도 운동을 한다.

 

제 1법칙은 케플러 법칙에서 가장 핵심이며 원운동으로 설명되었던 기존의 천체의 움직임을 새롭게 바꾼 것이다. 그림 Ⅰ-44와 같이 행성이 평면 타원 운동임을 설명하고 있다.

 

 

타원에는 초점이 두 개 있는데 태양은 타원의 중심이 아니고 한 초점에 있다. 따라서 행성의 운동은 태양과의 거리가 일정한 것이 아니라 가까울 때도 있고 멀 때도 있는데 가장 가까울 때를 근일점, 가장 멀 때를 원일점이라고 한다. 타원에는 두 종류의 반지름이 있는데 그 중 긴 것은 긴반지름, 짧은 것을 짧은 반지름이라고 한다.

 

첫 번째 법칙이 의미하는 바는 매우 크다. 그때까지 천체의 운동은 가장 조화스런 원운동이어야 한다고 믿고 있었던 시대 상황에서 이를 깨뜨리고 천체가 타원 운동을 한다고 했던 그의 생각은 획기적인 발상이었다.

제 2법칙: 행성이 타원 궤도를 돌면서 일정한 시간 동안 태양과 잇는 선이 쓸고 간 부채꼴의 면적은 항상 같다.

 

이것은 면적 속도가 일정하다는 의미이다. 그림 Ⅰ- 45와 같이 일정한 시간 동안 행성이 궤도를 지나면서 만든 부채꼴의 면적이 색칠이 되어 있는데 이 세 면적이 같다는 것이다. 이를 면적속도일정의 법칙이라고 한다.

 

 

 

이것은 행성이 어디에 있든지 같은 시간 동안 지나가면서 만든 면적은 같다는 의미이다.

케플러는 자신의 스승 티코 브라헤가 죽은 후 화성에 관한 그의 관측 자료를 얻게 되었다. 티코 브라헤의 관측 결과에 의하면 화성의 궤도는 타원 모양이었고 공전 속도는 일정하지 않았다. 태양 가까이 가면 속도가 빨라지고 태양에서 멀어지면 속도는 느려졌다. 만약 행성이 긴 고무줄 로 태양에 연결되어 있다면 고무줄이 타원 내의 모든 영역을 쓸고 갈 것이다.

 

이 때 행성이 태양 가까이 가서 속도가 빨라지면 고무줄이 가로지르는 영역은 넓은 부채꼴이 될 것이고 행성이 태양에서 멀어져 느리게 움직이면 좁은 부채꼴이 되어 같은 시간 동안 같은 면적이 된다.

제 3법칙: 행성의 타원 궤도의 긴반지름의 세제곱과 주기의 제곱은 서로 비례한다.

 

이것을 조화의 법칙이라고 한다.

 

이것은 복잡한 수식을 필요로 하지만 행성의 운동에 대해 해석한 것으로 케플러의 깊은 통찰력을 보여 준다.

조화 법칙을 확인하기 위해서 타원 운동을 하는 행성의 운동이 원운동에 가깝다고 취급한다. 질량이 m인 행성이 질량이M인 태양 주위를 원운동을 한다고 가정하면 원운동을 하도록 하는 힘은 행성과 태양 사이에 작용하는 중력이다. 

따라서 속도의 제곱은

 

이다.

 

 

그런데 원을 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간이 한 주기이므로 주기는

 

 이다.

 

여기에서 양변을 제곱하고  v²에 대한 식을 대입하면

  

을 얻게 된다. 

즉, 주기의 제곱과 반지름의 세제곱은 서로 비례함을 알 수 있다. 원에서 반지름은 타원의 경우 긴 반지름에 해당한다.