케플러의 법칙-가상실험

 

 

 

케플러 법칙

케플러는 행성의 운동에서 세 가지의 규칙성을 발견하였다. 이 발견은 이전에 가졌던 사람들의 우주관에 큰 영향을 끼쳤으며 뉴턴이 만유인력 법칙을 발견하는 데 직접적인 단서가 되었다. 

| 케플러 제 1법칙(타원 궤도 법칙) |

행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 운동한다. 이를 케플러 제 1법칙이라고한다.

| 케플러 제 2법칙(면적 속도 일정 법칙) |

행성이 타원 궤도를 돌 때 태양으로부터 가까운 곳에서는 속력이 빠르고, 먼 곳에서는 속력이 느리다.

 

위 그림과  같이 행성이 지나간 자취는 부채꼴의 호가 된다. 이때 같은 시간 동안 행성이 지나가면서 만든 두 부채꼴의 면적은 같다. 이를 케플러 제 2법칙이라고 한다.

 

| 케플러 제 2법칙(면적 속도 일정 법칙) |
행성의 공전 주기(T)의 제곱과 행성 궤도의 긴반지름(a)의 세제곱은 비례한다. 이를 케플러 제 3법칙이라고 한다. 따라서 태양에서 먼 곳에 있는 행성일수록 공전 주기가 길다.

 

 

뉴턴은 케플러 법칙으로부터 행성과 태양 사이에 서로 잡아당기는 힘이 지구가 물체를 잡아당기는 힘과 같은 종류의 힘이라는 것을 밝혀내었다. 

 

| 만유인력 법칙 |
뉴턴은 케플러 법칙에서 행성에 가해지는 힘은 태양을 향한 방향으로 작용하며, 그 힘은 태양으로부터 멀어질수록 작아진다는 것을 알았다. 

아래 그림과 같이 질량이 m, M인 두 물체 사이의 거리가 r일 때 두 물체 사이에 작용하는 만유인력은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

G는 만유인력 상수(또는 중력 상수)로

의 크기를 가진다.

 

즉, 질량을 가진 두 물체 사이에는 물체를 잇는 선분 방향으로 서로 잡아당기는 힘이 작용하며, 이 힘은 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다는 것이 만유인력 법칙이다.

 

| 등속 원운동 |

물체가 일정한 속력으로 원 궤도를 따라 운동할 때 이 물체는 등속 원운동을 한다고 표현한다. 물체가 등속 원운동을 하기 위해서는 원의 중심 방향으로 일정한 크기의 힘이 작용해야 하는데, 이 힘을 구심력이라고 한다. 물체를 줄에 매달아 돌릴 때 구심력은 줄이 물체를 잡아당기는 힘이다.

그림 I-36과 같이 반지름 r인 원 궤도에서 속도 v로 운동하는 질량 m인 물체에 작용하는 구심력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

이 식은 등속 원운동을 하는 물체의 구심 가속도가 원 궤도 반지름에 반비례하고, 속도의 제곱에 비례함을 나타낸다. 따라서 행성의 공전 궤도 반지름과 공전 속도를 알면 행성의 구심 가속도를 계산할 수 있다. 뉴턴은 이와 같은 방법으로 행성이 원운동을 하기 위한 구심 가속도를 계산하여 태양과 행성 사이에 작용하는 힘이 거리의 제곱에 반비례한다는 사실을 추론할 수 있었다.

 

| 만유인력 법칙과 케플러 법칙 |

뉴턴은 케플러 법칙으로부터 만유인력 법칙을 발견하였다. 거꾸로 만유인력 법칙을 이용하여 케플러 법칙을 유도할 수 있다.
반지름 r인 원 궤도를 속도 v로 등속 원운동하는 질량 m인 행성을 생각하자. 행성의공전 주기는 T= 2πr/v로 나타낼 수 있다. 이 행성에 작용하는 힘은 질량 M인 태양과 질량 m인 행성 사이에 작용하는 만유인력이며, 이 힘이 구심력으로 작용하여 원운동을 한다. 따라서

로 쓸 수 있다. 이 식에

 

를 대입하면

의 관계를 얻는다. 즉, 케플러 제 3법칙과 같이 주기의 제곱과 반지름의 세제곱의 비가 일정하다는 결과를 얻는다. 타원 궤도의 경우도 식은 더 복잡하지만 같은 결과를 얻을 수 있다.

뉴턴은 행성뿐만 아니라 모든 질량을 가진 물체 사이에는 만유인력이 작용한다고 생각하였다. 따라서 떨어지는 사과나 지구 주위를 도는 달은 모두 한 가지 힘으로 설명할 수 있다고 믿었다.

 

아래 그림은 그의 이러한 생각을 잘 나타내고 있다. 포탄은 매 순간 지구를 향해 떨어지지만 수평 방향으로도 움직이고 있으므로 충분한 속도를 가진다면 지구에 떨어지지 않고 계속 날아갈 수 있다. 지표면 부근에서 자유 낙하하는 물체는 1초에 약5 m를 낙하한다. 그런데 지구의 지표면은 수평으로 8km마다 지구의 중심 방향으로 약 5m씩 줄어드는 모양을 하고 있다. 따라서 포탄의 속력이 약 8 km/s 정도이면 원운동을 할 수 있다.

 

내용출처 : 천재교육 물리1