1차원 상자속의 입자-파동함수와 에너지 준위

 

상자 속의 입자
아래 그림과 같이 질량이 m인 입자가 폭이 L인 1차원 상자 속에서 왕복 운동하는 문제에 슈뢰딩거 방정식을 적용해 보자. 상자안에서 퍼텐셜 에너지는 0이고, 양벽은 무한하여 입자가 상자의 벽을 뚫지 못한다고 가정하자. 

상자 속의 입자는 상자 외부에서는 존재할 수 없으므로 상자 외부의 퍼텐셜 에너지는 무한대(∞)로 놓을 수 있다. 슈뢰딩거 방정식을 풀면 입자의 에너지는 다음과 같이 연속적인 값이 아니라 띄엄띄엄 떨어진 값만 가능하다.

양자 역학에서 입자가 제한된 공간에 갇혀 있을 때 에너지가 불연속적인 값을 가지는 것은 일반적인 현상이다. 앞에서 구한 에너지는 물질파의 파장 λ=h/p 를 이용해 구할 수도 있다.

입자는 벽을 통과할 수 없으므로 벽의 경계에서 입자가 발견될 확률은 0이다. 이것은 아래 그림과 같이 물질파가 정상파 모양을 가질 때만 가능하다. 

 

 

따라서 물질파의 파장은 다음의 조건을 만족시켜야 한다.

운동량 

를 입자의 에너지 식  

에 대입하면 앞에서 구한 슈뢰딩거 방정식의 해와 같은 해를 얻을 수 있다. 파동 함수는 사인함수 모양이며 아래 그림과 같다.

|Ψ|2 이 클수록 입자가 발견될 확률이 크다. 따라서 n=1일 때, 입자는 상자의 중심 x= L/2 에서 발견될 확률이 가장 크며, n=2인 경우에는 x=L/4, 3L/4인 곳에서 발견될 확률이 가장 크다. n이 무한히 커질수록 상자 내부에서 입자가 발견될 확률은 위치에 관계없이 같아진다.

입자가 특정 에너지 상태에 있을 때 에너지를 얻거나 잃으면 다른 상태로 이동할 수 있다. 이때 두 상태의 에너지 차이와 똑같은 크기의 에너지를 흡수하거나 방출해야만 한다.

예를 들어 1차원 상자에 갇힌 전자가 빛을 흡수하여 에너지 Em상태에서 에너지 En상태로 이동한다고 하자. 이때 흡수하거나 방출한 빛의 진동수를 f라고 하면 다음의 관계를 만족해야 한다.

hf는 진동수 f인 광자가 가지는 에너지이므로 위 식은 에너지 보존 법칙을 나타낸다. 원자에서 나오는 빛의 스펙트럼도 같은 원리로 이해할 수 있다.

경계조건에 의해서 에너지 준위들이 양자화된다. 특히 입자가 0이 되는 에너지를 가질 수 없다. 가장 낮은 에너지값은 n=1일 때로 이때 에너지를 영점 에너지라고 부른다. 각 상태에서의 파동함수와 에너지준위는 아래와 같다.

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다음은 슈뢰딩거 방정식으로부터 파동함수의 해와 양자화된 에너지를 얻는 과정이다.

그림과 같이 질량이 m인 입자가 폭이 L인 1차원 상자 속에서 왕복 운동하는 문제에 슈뢰딩거 방정식을 적용해 보자. 상자안에서 퍼텐셜 에너지는 0이고, 양벽은 무한하여 입자가 상자의 벽을 뚫지 못한다고 가정하자.

고전역학적으로는 입자가 x =0에서 x = L 사이 어느 곳에서나 같은 확률로 발견될 것이다. 파동역학적으로는 입자에 파동함수를 부여해야 한다. 입자가 벽을 뚫지 못하므로 x < 0이거나 x > L인 영역에서는 Ψ=0이 된다. 그리고 파동함수가 연속이어야 하기 때문에 다음과 같은 경계조건을 갖는다.

x=0과 x=L에서 ψ(x)=0

 

U=0이므로, 아래의 슈뢰딩거 방정식은

 

 

다음과 같다. 

 

 

이 방정식의 해는 ψ(x)=Asin(kx + φ)이다. x=0에서 ψ=0이라는 조건으로부터, sin(kL)=0를 얻는다. 이것은 kL=nπ를 말한다. (n은정수). 따라서 경계조건을 만족하는 파동함수는 정상파의 형태를 가진다.

 

 

여기서 k =2π/λ=nπ/L이므로, n번째 정상파의 파장은 λ =2L/n이다. 드브로이의 물질파 λ=h/mv에 적용하면, 

 

 

을 얻는다. n이 정수값이므로 속력은 양자화되었다. 따라서 운동량도 양자화되어 

 

 

가 된다. 상자 안에서는 운동 에너지만이 입자의 에너지이기 때문에 이 에너지도 양자화된다. 

 

 

그리고 다음 식을 

 

규격화 조건식인 아래식에 적용시키면

 

 

다음과 같다.

 

 

삼각함수의 공식 sin2θ=(1 - cos2θ)/2를 이용하여 이 적분을 계산할 수 있다. 이 결과는 A2L/2=1이므로 A2= 2/L 이어야 한다. 따라서 상자속의 입자에 관한 규격화된 정상 상태의 파동함수는

 

 

가 된다.

이 상자의 중심 x=L/2에서 확률밀도를 살펴보자. n=1일 때는 이곳에서 가장 발견될 확률이 높지만, n=2일 때는 0이 된다. 고전역학적으로는 에너지와 상관 없이 항상 상자 안의 모든 곳에서 발견될 확률이 똑같지만 양자역학적으로 보면 같은 지점이라도 에너지 준위에 따라 발견될 확률이 달라지게 된다.