운동량 보존-면접자료

 

다음 그림과 같이 두개의 도르래를 지나 물체 C(질량 3kg)의 중심을 관통하는 밧줄로 연결돼 있는 물체 A(질량 4kg)와 물체 B(질량 6kg)가 있다. 물체 A는 초기에 x0=1.0m 위치에서 정지되어 있다가 운동을 시작한 후, 상승하면서 물체 C와 완전 비탄성충돌(반발계수 e=0)을 했다. 이후 물체 A와 물체 C는 함께 상승하면서 최고점 d에 도달하게 되고, 다시 하강하면서 물체 C는 선반의 턱에 걸려 분리되며, 물체 A만 최저점에서 순간속도가 0이 될 때까지 하강했다. (단 중력가속도는 g=10m/s² )

 

1) 물체 A가 물체 C와 부딪히기 직전의 물체 A의 속력을 구하시오.(단 1번에서 4번까지의 모든 문제풀이의 답은 분수형태도 무방).

2) 물체 A가 물체 C와 부딪힌 직후의 물체 A의 속력을 구하시오.

3) 이후 물체 A와 물체 C가 함께 움직인 최고점까지의 거리를 구하시오.

4) 최고점에서 물체 A와 물체 C가 함께 하강하면서 선반의 턱에서 물체 C는 분리가 된다. 이후 하강을 지속하던 물체 A가 정지하게 되는 최저점의 위치를 구하시오.

 

 

 

전문가 클리닉

 

역학 문제로 가장 많이 등장하는 도구가 도르래입니다. 도르래로 연결된 두 물체에 작용하는 중력은 결국 두 물체의 운동방향을 반대로 이끄는 작용을 하기 때문에 전체 시스템의 운동을 기술하기 위해서는 힘의 합력을 구해야 한다는 결론에 도달하게 됩니다. 따라서 많은 도르래 문제들은 힘의 합력을 구하고, 그로부터 물체의 가속도를 구하면 되는 형태가 대부분이었습니다.

 

 이 문제는 한걸음 더 나아가 합력을 구한 다음부터는 지면에서의 운동과 똑같이 기술할 수 있으므로 운동량 보존법칙이나 에너지 보존법칙을 묻는 문제로 확장할 수 있음을 보여주고 있습니다. 중요한 것은 충돌로 인한 운동량의 변화는 충돌하는 바로 그 물체만 겪는 것이 아니라 줄로 연결된 다른 쪽 물체도 한 시스템처럼 변해야 한다는 것입니다. 줄이 고무줄처럼 늘어나지 않는 한 도르래를 통해 연결된 두 물체는 항상 같은 합력을 받고 같은 가속력을 가지며 같은 속력을 가져야 한다는 점만 명심한다면 아무리 복잡하게 엮어놓은 문제라도 쉽게 풀 수 있습니다.

 

 

 

예시답안

1) 먼저 B가 아래로 내려오는 방향을 (+)로 생각하기로 합니다. 그러면 A와 B가 받는 합력은

 (6kg-4kg)×10m/s²=20N

 

a= 20N/10kg =2m/s ²

 

vo=0이므로

 xo(=1.0m)만큼 올라갔을 때 시스템의 속력은

 v= √ 2ax = √(2×2m/s2×1.0m) = 2m/s입니다

 

 2) A와 C가 부딪힌 직후 완전비탄성 충돌에 의해 A와 C는 함께 이동을 시작합니다. 즉 전체 시스템은 C가 더해져 총 질량이 13kg이 되므로 운동량 보존법칙에 따르면,

 

10kg×2m/s=13kg×v´               v´= (20/30)m/s   이 됩니다.

 

 

3) A와 C가 충돌한 직후의 전체 시스템이 받는 합력과 가속도를 다시 구해야 합니다. 즉 F=(6kg-7kg)×10m/s² a´= F/N = - 10/13m/s² 이므로, B가 올라가는 방향으로 가속도를 갖게 됩니다. 이제 초속도가 v´이고, 가속도가 a´인 물체 A의 최고점 d는,

(v²-v'²)/2a= ( 10/13 m/s)²÷( 20/13 m/s² ) =5/13 m입니다.

 

4) 이제 A와 C는 다시 하강을 시작하고 C는 선반에 걸리고 A만 내려갈 것입니다. 3번 문제에 따르면 전체 시스템의 가속도는 10/13 m/s²이고, 20/13 m내려와 C가 선반에 닿기 직전의 속력은 20/13 m/s가 될 것입니다.

 

이 위치에서 순간적으로 C는 A로부터 떨어져 나가고 운동량 보존법칙을 적용하면 2번 결과의 역순이 돼 A와 B로 이뤄진 원래 시스템의 속도는 2m/s가 되고, 가속도는 다시 2m/s²이 됩니다.

 

그러므로 A가 내려갈 수 있는 최대 거리는 A가 처음 출발했던 가 됩니다. 자세히 살펴보면 결국 이 시스템 전체에는 에너지 보존 법칙이 적용돼 처음 출발 했던 상태로 되돌아오는 운동을 하고 있음을 알 수 있습니다.

 

출처 : 과학동아