구술면접-부력, 열역학

빙하에 숨겨진 물리 법칙-역학, 열역학(서울대 특기자 전형 기출문제 응용)

그림과 같이 컵 속에 질량 9M인 50℃ 물 위에 질량 M인 -10℃ 얼음이 움직이지 않고 떠 있다. 여기서 물과 얼음은 외부와 열교환을 하지 않는 고립된 열역학계를 이룬다고 가정하자.

 

 

1) 얼음에 작용하는 알짜힘의 크기는 얼마인가? 또 얼음에 작용 하는 힘들을 열거하고, 각 힘에 대한 작용-반작용의 짝을 말하라.(단 대기압은 없다고 가정한다.)

 

2) 물이 얼음에 작용하는 힘은 얼음이 밀어낸 부피만큼의 물 무게다. 물 속에 잠긴 얼음 부피는 전체 얼음 부피에서 얼마에 해당하는가?(물의 밀도는 1g/cm3이고, 얼음의 밀도는 0.9g/cm3이다.)

 

3) 얼음의 모양이 단면적 A, 길이 L인 원기둥이고 수면에 수직한 방향으로 떠 있다고 가정하고 손으로 얼음을 x만큼 살짝 눌렀을 때 얼음이 받는 알짜힘의 크기는 얼마인가? 이때 갑자기 손을 떼면 얼음은 위아래로 왕복 운동을 한다. 이 때 주기를 예측하라.(단, 중력가속도는 1000cm/s2)

 

 

4) 열, 온도, 내부에너지의 개념을 사용해 위 고립계(물+얼음)이 녹으면서 열적 평형상태로 도달하는 역학적 과정을 설명하라.

 

5) 얼음이 다 녹았을 때 전체 물의 온도는 얼마인가?(단 얼음의 비열은 0.5cal/g℃, 얼음의 융해열은 80cal/g이다.)

 

6) 이와 같이 얼음이 녹아 전체가 물이 되는 과정에서 얼음과 물 각각의 무질서도(또는 엔트로피) 증감과, 전체 계의 무질서도 증감에 대해 설명하고, 이를 열역학 제2법칙 관점에서 설명하라.)

 

7) 6번 문제를 푼 학생에게 계속되는 질문:

구슬 5개를 10개의 구멍에 넣는 방법의 수를 구하라. 단 모든 구슬과 모든 구멍은 구별이 가능하다. 이번엔 5개의 구슬 중 3개의 구슬을 8개의 구멍에 넣고, 나머지 2개의 구슬을 다른 2개의 구멍에 넣는 방법의 수를 구하라. 첫 번째는 물분자(구슬)가 자유롭게 모든 위치(구멍)를 돌아다니는 상태를 표현한 것이고, 두 번째는 자유로운 물분자와 결정을 이뤄 자유도가 낮은 얼음분자가 공존하는 상태를 표현한 것이다. 두 경우에 대해 각각의 경우의 수를 무질서도와 연관지어 설명해라.

 

 

 

예시답안

 

1) 얼음은 물 위에 떠서 움직이지 않으므로 힘의 평형상태임을 알 수 있습니다. 즉 얼음에 작용하는 알짜힘은 0입니다. 중력장 내에서 얼음은 지표면 방향으로 중력을 받습니다. 그리고 얼음을 떠 받치는 물에 의해 부력을 받습니다. 각 힘에 대한 작용-반작용의 짝은 다음과 같습니다.

 

a. 중력: 지구가 얼음을 당기는 힘 - 얼음이 지구를 당기는 힘

b. 부력: 물이 얼음을 밀어 올리는 힘 - 얼음이 물에 작용하는 힘

 

한 가지 주의할 것은 중력과 부력이 작용-반작용의 짝이 아니라는 점입니다. 중력과 부력은 모두 ‘얼음’에 작용하는 힘이며, 크기는 같고 방향이 반대이므로 ‘평형’을 이루고 있을 뿐입니다. 작용-반작용의 짝은 두 사물 간에 같은 크기의 힘을 주고 받는 경우이므로 힘의 평형과는 상관없습니다. 

 

 

2) 얼음 부피를 V하고, 물 속에 잠긴 비율을 a라 하면 물 속에 잠긴 얼음의 부피는 aV입니다. 물 속에 잠기 얼음 부피에 해당하는 물의 무게가 바로 얼음이 받는 부력입니다. ‘중력=부력’의 관계로부터

 

0.9(g/cm3)☓V=1(g/cm3)☓aV ➜ ∴a=0.9  

 

즉, 물 속에 잠긴 얼음 부피는 전체 부피의 0.9에 해당합니다.  

 

 

3) 얼음이 만큼 더 잠기면 얼음이 받는 부력은 1000kg/m3☓10m/s2☓ xA만큼 더 증가합니다. 즉 10000☓Ax(N)입니다. 이는 F=kx의 형태이므로 일종의 탄성력이고, 탄성계수는 10000☓A입니다. 용수철의 주기 공식으로 얼음의 진동주기를 구하면

 

 

그런데 얼음 부피를 V라 두면 M=900kg/m3☓V이므로

 

입니다.

 

 

4) 온도가 다른 두 물질이 접촉하면 온도가 높은 물질로부터 온도가 낮은 물질로 열이 이동합니다. 따라서 온도가 높은 물질은 온도가 내려가고 온도가 낮은 물질은 열을 흡수해서 온도가 올라가는데 두 물질의 온도가 같아질 때까지 열의 이동은 계속됩니다. 더 이상 열이 이동하지 않는 상태를 ‘열적 평형상태’라고 합니다. 얼음은 물로부터 열을 흡수해 온도가 올라가고 0℃에서 상태변화를 일으켜 물이 됩니다. 그래도 두 물질 사이에 온도차가 존재하면 계속해서 온도가 올라가다가 어떤 온도에 이르면 더 이상 열의 이동은 일어나지 않습니다.

 

 

5) 열량 보존의 법칙을 적용합니다. ‘얼음이 얻은 열량=물이 잃은 열량’이므로 최종 온도를 T℃라고 하면,

(0.5cal/g℃☓Mg☓10℃)+(80cal/g☓Mg)+(1cal/g℃☓Mg☓T℃)=1cal/g℃☓9Mg☓(50-T)℃

정리하면 5+80+T = 450-9T이므로 T=36.5℃입니다.

 

 

6) 물이 열을 잃고 온도가 올라가는 현상은 무질서도(엔트로피)가 감소하는 현상입니다. 그러나 고체 상태의 얼음이 녹아 액체 상태인 물이 되고, 이 물의 온도가 올라가면 얼음의 무질서도는 증가한 것입니다. 각각의 무질서도는 어느 한 쪽이 증가하면 다른 쪽은 감소합니다.

 

그러나 두 물질을 하나로 생각해 전체 계의 무질서도를 고려하면 항상 증가합니다. 열역학 제2법칙에 의하면 열역학적 현상은 계의 엔트로피가 감소하지 않는 방향으로 일어나므로 얼음과 물이 섞이는 반응에서도 엔트로피는 감소하지 않아야 합니다.

 

7) A : 5개의 구슬을 10개의 구멍에 넣는 방법의 수

 

 

 

 

5개의 구슬을 차례로 구멍에 넣을 때 첫 번째 구슬이 들어갈 수 있는 구멍의 수는 10개, 두 번째 구슬이 들어갈 수 있는 구멍의 수는 첫 번째 구슬이 들어간 구멍을 제외하고 9개, … 이와 같은 식으로 생각하면 5개의 구슬을 10개의 구멍에 넣는 모든 경우의 수는 다음과 같습니다.

10☓9☓8☓7☓6=32240

 

 

B : 5개의 구슬 중 3개를 8개의 구멍에 넣고, 2개를 2개의 구멍에 넣는 방법의 수

 

 

 

 

먼저 5개의 구슬을 3개와 2개로 나누는 방법의 수를 구합니다. 즉 5개 중에 3개를 고르는 경우의 수는 5C3=10입니다. 이제 이렇게 구분한 3개의 구슬과 2개의 구슬에 대해 각각 구멍에 넣는 경우의 수를 구한 뒤 모두 곱한 값을 구합니다. 이것이 5개의 구슬 중 3개를 8개의 구멍에 넣고, 2개를 2개의 구멍에 넣는 방법의 수입니다.

 

10☓(8☓7☓6)☓(2☓1)=6720

 

이 문제에서 구슬은 어떤 물질 입자를 의미하고 구멍은 그 입자들이 놓일 수 있는 장소를 의미합니다. 즉 구멍의 수가 많을수록 구슬의 자유도가 높아지는 것으로 비유됩니다. 첫 번째 경우에서 모든 구슬이 똑같은 자유도를 갖는 것은 전체가 물로 된 상태를 설명하는 것으로 구멍에 들어가는 경우의 수가 클수록 무질서도가 높다는 것을 의미합니다. 무질서도란 입자의 자유도를 의미하는 양이기 때문입니다.

 

하지만 두 번째 문제에서 구슬 중 일부는 제한된 개수의 구멍에 들어가는데 이는 결정 구조를 가져서 마음대로 돌아다닐 수 없는 얼음 상태를 나타냅니다. 즉 얼음과 물로 이루어진 계의 경우의 수는 물로만 이뤄진 계의 경우의 수보다 훨씬 적음을 알 수 있습니다. 얼음이 물 속에서 녹아 전체가 물이 되면 전체계의 무질서도가 증가한다는 것을 이런 방법으로 설명할 수 있습니다.