면접자료-원숭이 맞추기

포탄에 숨겨진 비밀 - 포물선 운동

평소 호기심이 많은 재원이는 어떻게 하면 공중에서 낙하하는 물체를 지상에서 포탄을 쏴 맞출 수 있을지 생각했다. 즉 다음 그림처럼 수평방향으로 L만큼 떨어진 지점에서 H의 높이에 있는 물체가 자유낙하 할 때 어떤 각도로 그리고 얼마의 초기속력으로 포탄을 발사해야 하는지를 알아보려고 한다.

 

 

 

이 때 중력가속도는 g이고 공기 저항은 없는 것으로 가정하며, 포탄은 물체와 동시에 발사된다고 하자.(서울대 특기자 전형 기출문제)

1) 물체가 자유낙하를 하는 경우에 어떤 각도와 초기 속력으로 포탄을 쏴야 이 물체를 명중시킬 수 있을까? 무중력 상태와 비교해 설명하시오.

2) 이 물체가 지면에 도달하기 전에 명중시키려면 포탄은 최소 어떤 속력 이상으로 발사되어야 할 것이다. 이 최소 발사 속력은 L, H와 어떤 관계가 있는가? 만일 수평거리 L과 높이 H가 각각 2배로 늘어나면 이 때 필요한 최소발사속력은 원래보다 얼마나 더 커야 하는지 설명하시오.

3) 만일 동일한 실험을 중력이 지구 중력의 1/6인 달 표면 위에서 행하면 발사각도와 최소발사속력은 어떻게 달라지는지 설명하시오.

4) 실제로 1)번에서 얻은 결과에 의존해서 실험을 수행하면 그 결과는 우리가 계산했던 것과 달라질 수 있다. 그 원인을 설명하시오.

 

 

 

 

예시답안

1) 중력장 내에서 비스듬히 쏴 올려진 물체의 운동을 기술하는 문제는 수직성분과 수평성분을 구분하면 쉽게 풀립니다. 두 가지 성분으로 구분하는 이유는 중력이 수직방향으로 작용하므로 수평성분의 운동은 중력가속도와 관련없이 기술되기 때문입니다. 문제에서 포탄의 초기 속도를 수평성분과 수직 성분으로 분리하면

 

 

가 됩니다. 포탄이 물체를 맞추기 위해서는 포탄이 수평거리 L만큼 갔을 때 포탄의 높이가 물체의 높이와 같아야 합니다. 우선 포탄이 수평거리 L만큼 가는데 걸리는 시간은

 

 

입니다. 그리고 이 시간동안 포탄의 y방향 위치는

 

 

이 됩니다.  그리고 역시 같은 시간 후의 물체의 위치는  

 

➜ ym  = yb 일 때 포탄은 물체에 명중하게 되므로 결국

 

임을 알 수 있습니다. 이 결과는 물체를 명중시키는데 포탄 속력의 크기는 관련 없이 포탄의 초기 방향만이 중요하다는 것을 말해 줍니다. 물론 위 문제를 푸는 과정에서 속력이 분수의 분모로 들어가게 되므로 ‘속력은 0이 아닌 양수’라는 조건과 물체가 무한히 낙하 운동을 계속할 경우라는 조건이 붙습니다.

그러므로 만약 바닥이 존재하고 포탄의 속력이 너무 느린 경우에는 포탄이 물체를 맞추기 전에 물체가 바닥에 닿게 될 것입니다. 무중력 상태일 때는 포탄을 어떻게 쏴야 할까요? 무중력 상태에서는 중력가속도가 0이므로 물체는 H높이에 멈춰있습니다. 따라서 포탄을 물체 방향으로 임의의 속력으로 쏴줘도 됩니다. 즉 포탄의 속력은 0보다 큰 임의의 값이고, 포탄의 방향은 tanθ=H/L일 때 포탄은 항상 물체를 맞힙니다.

이 결과는 중력이 있거나 없거나 처음 포탄의 방향만 물체가 있던 위치를 향한다면 언젠가는 물체를 맞히게 된다는 것을 알려줍니다.

 

 

2)지표면이 있는 경우라면 어떻게 될까요? 이때는 물체가 바닥에 닿거나 포탄이 바닥에 떨어지면 더 이상 운동을 할 수 없습니다. 즉 바다에 닿기 전에 물체를 맞출 수 있는 조건이 필요합니다. 1)번 풀이에서 포탄이 수평거리 L을 가는 동안 물체는 최대 H만큼만 떨어진다면 포탄과 물체는 만날 수 있습니다. 그러므로 최소발사속력 v는

 

 

이 됩니다. 위 풀이과정에서 θ의 값은 이미 알고 있으므로 H와 L에 관한 식으로 바꿨습니다. 즉 v가 보다 큰 값일 때 포탄은 물체에 명중합니다. 또한 H와 L의 크기가 동시에 두 배가 되면 최소발사속력은 원래의 √2배가 됩니다.

 

 

3) 1)번 풀이에서 포탄이 물체를 맞추기 위한 조건은 발사 방향에만 의존할 뿐 포탄의 속력이나 중력가속도의 크기에는 무관함을 보였습니다. 그러므로 이 실험을 중력이 지구의 1/6인 달 표면에서 하더라도 결과에는 변함이 없습니다. 더욱이 무중력 공간에서도 같은 결과가 나옴을 1)번 풀이에서 이미 설명했습니다.

 

4) 1)번에서 얻은 결과를 바탕으로 실제로 실험을 해도 예상과 다른 결과가 나옵니다. 이는 문제에서 무시했던 여러 가지 외부요건들 때문입니다. 즉 실제 실험에서는 공기에 의한 마찰 때문에 포탄이든 물체든 운동방향의 반대방향으로 힘을 받아 매순간 가속도가 바뀌는 운동을 합니다.

  이때 물체는 수직방향의 힘만 받지만 포탄은 수평방향의 마찰도 발생하므로 더욱 복잡한 궤적으로 그리며 날아가게 되고, 1)번의 결과처럼 물체를 맞추지 못합니다. 또한 이 실험을 지표면에서 행한다면 지구의 자전으로 인해 코리올리 효과가 발생합니다. 북반구의 경우 포탄은 진행방향에 대해 오른쪽으로 편향돼 진행하게 되고, 수직 낙하하는 물체의 경우에도 코리올리 힘에 의해 경로가 바뀌게 될 것입니다.

  이것 역시 1)번 계산에서는 염두에 두지 않은 요인이므로 포탄이 물체를 명중하지 못하게 하는 요인이 됩니다.

 

출처 : 과학동아