베르누이의 원리-가상실험

 

 

베르누이의 원리  

실제 유체의 운동을 설명하는 것은 매우 복잡하다. 그래서 과학자들은 이상 유체를 가정하여 유체의 운동을 분석하기 시작하였으며, 다음과 같은 특성을 가진 유체를 이상 유체라고 한다.

 1. 이상 유체는 비압축성이어서 밀도가 균일하고 일정한 값을 갖는다.

 2. 이상 유체는 점성이 없어서 마찰에 의한 에너지 손실이 없다.

 3. 이상 유체는 유체 속 한 지점에서의 속도가 시간에 따라 변하지 않는 층흐름(또는 정상흐름)을 한다.

 4. 이상 유체를 이루는 입자들은 맴돌이 흐름을 하지 않는다.

이러한 특성 때문에 이상 유체가 흐를 때는 아래 그림과 같이 흐름선을 형성하면서 진행한다. 흐름선은 유체를 구성하는 입자들 하나하나가 움직이는 경로를 말한다. 이상 유체에서는 두 흐름선이 서로 교차하지 않는다.

 

 

만일 두 흐름선이 교차한다면 교차점에 도달한 두 입자는 자기가 어떤 흐름선을 따라 가야할 지 알수 없게 되는 모순이 생기기 때문이다.

이상 유체의 흐름에서는 흐름관을 생각할 수 있다. 흐름관이란 유체의 흐름선으로 이루어진 관을 말한다. 아래 그림과 같이 단면적이 변하는 흐름관을 생각해 보자.

 

 

비압축성의 이상 유체의 경우, 1초 동안 단면 A₁과 A₂ 통과한 유체의 부피가 같으므로 다음 식이 성립한다.

  

 

이 식을 비압축성 유체의 연속방정식(질량보존)이라 하며, 유체의 흐름에서 단면적과 속력이 반비례함을 의미한다.

 

아래 그림과 같이 밀도가 ρ인 이상 유체가 위치1(압력 P₁, 단면적 A₁, 속력 v₁, 높이 h₁)에서 관을 따라 위치2(압력 P₂ , 단면적 A₂, 속력 v₂, 높이 h₂)로 흐른다고 하자.

 

두 위치에서 유체의 압력과 속도, 높이 사이에는 어떤 관계가 있을까?

베르누이는 이들 물리량 사이에 다음의 관계가 성립하는 것을 알아내었다. ρ는 유체의 밀도이며 g는 중력 가속도를 나타낸다. 

 

위 식에 나타난 유체의 속도와 압력, 높이의 관계를 베르누이 법칙이라고 한다. 위의 식은 유체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지의 합이 항상 일정하다는 성질을 이용한 것으로, 이상 유체가 규칙적으로 흐르는 경우에 대해 성립하는 식이다.

위의 식 (1)을 일과 역학적 에너지의 관계로 유도해 보자.

위 그림과 같이 위치1에서 압력 P₁이 시간 t 동안 하는 일(W₁)은 위치 2에서 압력 P₂가 하는 일(W₂), 퍼텐셜 에너지 변화량(ΔE_p), 운동 에너지 변화량(ΔE_k)으로 나타나므로 다음 식이 성립한다.

 

 

각각의 물리량을 식으로 표현해 보면 다음 식과 같다.

 

m은 t 동안 이동한 유체의 질량이다.

네 가지 물리량을 (2)식에 대입하여 정리하면,

 

 

이 된다. 시간 t 동안 이동한 유체의 부피 V=A₁v₁t이고  m/V=ρ이므로, 위의 식을 V로 나누면 (1)식이 성립함을 확인할 수 있다.

유체가 흐르지 않고 정지해 있는 경우, 위의 식에서 v₁, v₂ 모두 0이므로 다음 식이 성립한다.

 

 

위 식은 정지한 유체에서 높이에 따라 ρg(h₂-h₁)만큼 압력 차이가 발생함을 의미한다.

유체가 같은 높이를 흐르는 경우, 즉 h₁=h₂인 경우에는 다음 식이 성립한다.

위 식을 보면 유체의 속력이 빠른 곳에서는 압력이 작은 것을 알 수 있다. 예를 들면, 같은 높이에서 흐르는 유체의 속력이 P점에서 Q점으로 가면서 점점 빨라졌을 때 

이므로 v₁<v₂이면 P₁>P₂이다. 

즉, 유체의 속력이 빠른 곳에서는 유체의 압력이 낮아짐을 알 수 있다.

 

내용 출처 : 천재교육 물리1 

 

* 관련동영상 : 베르누이의 원리 실험 영상