최소시간 경로-면접자료

Q)  그림에서 어떤 작은 물체가 A에서 B로 가장 빨리 미끄러져 내리는 경로 APB를 구하시오(단 P는 항상 선분 OB 상에만 있고, 경로 상에서의 마찰은 무시한다). 또한 그림에서 경로 APB를 따라 A로부터 B에 도달하는데 걸리는 시간 t를 θ의 함수로 구하고, t가 최소일 때의 θ값을 구하시오.

 

● 출제 의도와 구술 어드바이스
이 문제는 역학적에너지 보존원리를 이해하는가, 또한 함수의 최대·최소와 관련해 미적분의 기본 원리를 알고 있는가를 평가하기 위한 문제다.

● 배경지식
1. 역학적에너지와 보존
* 물체의 운동에너지와 위치에너지의 합을 역학적에너지라고 한다.
* 마찰이나 공기의 저항을 무시할 때, 물체가 가지는 역학적에너지는 항상 일정하게 보존된다.
Ek + Ep = E’k + E’p = 일정
⇒ (1/2)mv² + mgh = 일정(중력장에서)
△Ek + △Ep = 0
⇒ (1/2)mv² + (1/2)kx² = 일정(탄성력장에서)
△Ep = - △Ek = - F△s
⇒ (1/2)mv² - GMm/r = 일정(만유인력장에서)

2. 함수의 최대·최소값 구하기
·함수가 전체 구간에서 연속이고 미분 가능해야 한다.
·구간의 경계에서의 함수값과 미분이 0인 곳에서의 함수값을 비교하여 최대·최소값을 구한다.

 

 

 해설 및 모범답안
먼저 시간을 구하면 아래와 같다.
(1) A점에서 P점까지의 경과시간
역학적에너지 보존원리에 의해 P점 도달시의 물체의 속도를 구한다.
mgh = 1/2mv² → m×g×1 = 1/2×m×v² → v = √2g

그러므로 평균속도 v = (0+ √2g)/2 = √2g/2이다.
P점까지 경과시간(t)은 빗면의 길이(1/cosθ)÷평균속도이므로 2/cosθ이 된다. …………… ①

(2) P점에서 B점까지의 경과시간
거리(1- tanθ)÷속도(√2g) = 1- tanθ/√2g …………… ②
∴ 총경과시간(T)는 ① + ②이므로
T = 2/ √2gcosθ + 1-tanθ/ √2g 가 된다.

다음으로 최소의 시간이 걸리는 θ의 값은 아래와 같이 구한다.
(1) f(θ) = 2/ √(2g)cosθ + 1-tanθ/√2g에서 주어진 조건상 θ의 범위는 0보다 크고 45°보다 작거나 같다. 그리고 이 함수는 경계범위 내에서 연속이고 미분가능하다.

(2) f '(θ) = 2/ √2g× secθtanθ - sec2θ/ √2g이므로 f '(θ) = 0이 되는 θ의 값을 구하면
2/√2g ×secθtanθ - sec2θ/√2g= 0
→ 2/ √2g × secθtanθ = sec2θ/√2g
→ 2tanθ = secθ에서 θ = 30˚가 된다.

따라서 정답은 경과시간 T = 2/ √(2g)cosθ + (1- tanθ)/ √2g이고 경과시간이 최소가 되는 각 θ = 30˚이다.

 

출처 : 과학동아