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| 비스듬히 던진 물체의 운동 |

 

비스듬히 던진 물체의 운동에 대해 정성적인 해석과 정량적인 해석을 병행하여 설명하고자 합니다. 잘 읽어보시고 이해하는데 도움이 되시길 바랍니다.


▣ 정성적 해석

위로 비스듬히 던진 물체를 생각해보자. 이 물체는 중력 때문에 곡선 경로를 따라 운동하다가 마침내 지면과 충돌하게 된다. 중력이 없다고 가정해보자. 그러면 물체는 아래 그림과 같이 점선으로 직선 경로를 따라 운동하게 된다. 이를 실제 현상과 비교해 보는 것은 매우 흥미로운 일이다. 물체가 지면과 충돌할 때까지 포탄은 가상의 직선 아래로 계속 떨어진다. 점선상의 한점에서 아래 방향으로 떨어진 물체의 수직 거리는 같은 시간 동안 자유 낙하했을 때의 낙하 거리와 같다. 이 수직거리 d=1/2gt2이다. 중력가속도가 10m/s2이라면 이 식은 d=0.5t2이 된다.


다른 방법으로 설명할 수도 있다. 물체가 공중으로 비스듬히 던져지고 중력은 없다고 가정해보자. 시간 t초가 지났을 때, 물체는 직선 경로상의 한 점에 있게 된다. 그러나 중력 때문에 물체는 그 곳에 없다. 어디에 있을까? 물체는 그 점 바로 아래쪽에 있다. 그렇다면 얼마나 아래쪽에 있는가? 그 점으로부터 5t2아래에 있다. 이 결과에 대해 어떻게 생각하는가? 물체가 가상의 직선 아래로 떨어진 수직 거리는 시간이 지남에 따라 점점 증가하여 시간이 t초 지났을 때는 5t2이 된다. 



그림에서 물체가 매초마다 똑같은 수평 거리를 이동한다는 또 다른 사실에 주목해 보자. 그것은 수평 방향의 가속도가 없기 때문이다. 물체가 갖는 가속도는 오로지 중력의 방향인 수직방향 뿐이다.


그림은 포물선 경로를 따라 운동하는 물체의 속도의 수평성분과 수직 성붕을 나타내는 벡터들을 보여준다. 그런데 수평 성분은 항상 같고 수직 성분만 변하고 있다. 또한 실제 속도 벡터는 두 성분에 의해 만들어지는 직사각형의 대각선으로 표현되고 있다. 경로 상의 최고점에서 수직 성분의 속도는 0이다. 따라서 최고점에서의 속도는 경로 상의 모든 점에서의 수평 성분의 속도와 같다. 최고점 이외의 모든 점에서의 속도는 최고점보다 항상 크며, 이는 직사각형이 대각선이 두 변 중의 어느 하나보다 항상 큰 것과 같다.


그림은 처음 속력은 같지만 발사각이 더 큰 포물체의 운동 경로를 보여준다. 그런데 처음 속도 벡터의 수직 성분은 발사각이 작은 경우의 수직 성분보다 더 크다. 따라서 포물체는 더 높은 궤도를 따라 운동하게 된다. 그러나 수평 성분은 더 작기 때문에 수평 도달 거리는 더 짧게 된다. 


그림은 처음 속력은 같지만 발사각이 다른 여러 포물체들의 운동 경로를 보여 준다. 공기저항을 무시한 것이므로 그림의 운동경로는 모두 포물선이다.각 포물체들의 최고점의 높이는 모두 다르다. 또한 이동한 수평거리도 다르다.


그림에서 가장 주목할만 한 것은 발사각이 다른 - 두 발사각을 더하면 90도가 되는 - 두 포물체의 수평도달거리는 같다는 것이다. 예를 들면 지면과 60도의 각도로 던진 물체의 수평도달거리는 같은 속력으로 지면과 30도의 각도로 던진 물체의 수평도달거리와 같다. 물론 각도가 작은 경우는 체공시간이 더 짧다. 


우리는 지금까지 공기저항을 거의 받지 않는 포물체 운동에 대해 공부하였다. 그림에서 보는 바와 같이 공기저항이 의미 있는 것일 때 포물체의 수평도달거리는 짧아지며, 그 경로도 본래의 포물선이 아니다.





▣ 정량적 해석

지표 부근에서 수평면과 θ의 각도로 처음 속도 v0으로 던진 물체는 어떻게 운동하는지 알아보자.

 

비스듬히 던진 물체의 운동

 

수평 방향으로는 힘이 작용하지 않고 연직 아래 방향으로 중력이 작용하므로, 물체에 작용하는 가속도의 x성분과 y성분은 다음과 같다.


물체를 수평면과 θ의 각도로 던졌으므로 처음 속도  v0의 x성분과 y성분은 


이고, 시간 t일 때 속도 v의 x성분과 y성분


이다. 그리고 시간 t일 때 수평 방향의 이동 거리 x와 연직 방향의 위치 y는 다음과 같다.


이 두 식에서 t를 소거하면


이다. 이 식은 포물선을 나타내는 것으로, 물체는 포물선 운동을 한다는 것을 알 수 있다.


최고점에서 속도의 y성분은 vx=0이므로, 물체가 최고 높이까지 올라가는 데 걸리는 시간 t1과 최고점의 높이 h는  (1), (3)에서

 

이다. 지표면에서 물체는 연직 방향으로 등가속도 운동을 하므로 올라갔다 내려오는 시간 t2=2t1이며, 지표면에서 수평 방향 도달 거리 R는


이다. sin2Θ는 2h가 90°일 때 최댓값이므로, 각 Θ가 45˘일 때 수평 도달 거리는 최대이다.

 

 

내용출처 : 천재교육 물리2

 

 

 

 

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