진자의 운동(가상실험)

 

 

진자에 작용하는 힘 

진자의 운동에서 각 위치에 따라 작용하는 힘(지름방향과 지름방향에 수직인 방향)을 θ의 함수로 나타내고자 합니다. 물리학적 개념이 부족한 학생의 경우 어려울 수 있을 거예요. 그런 경우에는 마지막의 결과식에 의한 현상을 이해하도록 하는 것이 좋을 듯 합니다. 그리고 이론적인 분석과 가상실험을 통한 확인을 통해 진자의 운동에 대한 이해의 폭을 넓힐 수 있을 것으로 기대합니다.

처음에 정지상태에서 팽팽하게 당겨진 줄진자의 줄과 연직선이 이루는 각을 θm(진폭이라고 함)로하여 진자를 가만히 놓아 운동하게 했다. 이 때 진자가 매달린 점 O와 진자의 추를 잇는 방향(지름방향이라 하자.)의 중력성분과 장력의 합력은 진자가 원운동을 유지할 수 있도록 구심력을 제공하며, 중력의 가로방향 성분(지름방향에 수직인 방향)은 진자가 왕복운동을 할 수 있도록 한다. 

이제 이 사실을 이용하여 연직선과 진자가 임의의 θ의 각을 이룰 때 추의 속력과 줄의 장력을 구해 보도록 하자.

먼저 아래의 그림과 같이 진자의 추가 최하단 O'에 위치했을 때 위치에너지가 “0”이 되도록 한다면 진자가 연직선과 θ의 각을 이룰 때 추의 역학적 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

 

한편 진자의 추가 최상단에 위치할 때( θ = θm 일 때) 진자의 추는 정지해있으므로 진자의 역학적 에너지는 E=mgl(1-cosθm)와 같이 나타낼 수 있다. 

이제 역학적 에너지 보존법칙을 적용하면 다음과 같은 관계식을 얻는다. 

이제 지름방향에 대한 운동을 분석해보면 다음과 같다.

진지의 운동에서 진자의 추에 작용하는 힘의 지름방향 성분으로는 추에서 점 O를 향하는 방향의 장력 T와 중력의 지름방향으로 θ가 있으므로 진자의 추가 원운동을 유지할 수 있도록 하는 구심력은 T-mgcosθ이다. 

만일 연직선과 진자의 줄이 θ의 각을 이룰 때 추의 속력을 v라 하고 줄의 길이를 ℓ이라 하며 추의 크기를 무시한다면 원운동 조건에 의해 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

장력은 추의 속력이 증가할수록 커짐을 확인할 수 있다.  

 

이 결과식에서 v대신에 앞에서 구한 

 

을 대입하면 

줄의 장력은 다음과 같다. 

 

위의 결과로부터 θ = θm 일 때 장력 T는 T=mgcosθm으로서 정확히 중력의 중력성분과 같은 크기를 가져 중력의 지름성분을 상쇄시킴을 알 수 있다. 

다시 말해서 구심력이 “0”이 된다는 것이다.

따라서 이 지점에서는 추의 속력이 “0”이 되어야 한다. 이 사실은 θ에 관한 추의 속력 v의 식에서 금방 확인할 수 있다. 

즉

이다.

 

다음으로 가로방향의 운동을 분석해 보자.
진자의 운동에서 가로방향으로 진자의 추에 작용하는 힘은 중력의 가로방향성분인 mgsinθ만 작용하며 이 힘은 진자의 추가 항상 최하단인 점 O′을 향하여 가로방향으로 가속되게 한다. 

따라서 중력의 가로방향성분 mgsinθ은 진자를 왕복운동시키는 복원력을 제공하게 되며 이 복원력은 다음과 같이 표현할 수 있다. 

여기서 F의 “r”은 “restoring force(복원력)”의 첫 자를 의미한다.